Quanto sono efficaci i vaccini contro il Covid-19?
Due conticini semplici semplici
(vaccini e ricoveri - 20.1.2022)
Introduzione
L'andamento dell'epidemia di Sars-Cov-2 (il Codiv-19) con nuove "ondate" di contagi e conseguenti crescite dei ricoveri e dei decessi nonostante l'avvio della campagna di vaccinazione che ha oramai coperto gran parte della popolazione adulta italiana, ha portato il governo ad aumentare i vincoli per i non vaccinati (tramite il "certificato verde") e ad estendere l'obbligo vaccinale dal personale sanitario ad altre categorie di lavoratori ed agli ultracinquantenni. Da alcune parti anche si vocifera di un obbligo vaccinale universale.
Questa spinta morbida verso la vaccinazione, pena l'esclusione non solo dalla vita sociale, ma anche da quella lavorativa, mette alle corde i militanti antivaccino (autodefinitisi "no-vax") che quindi con rinnovata veemenza si scagliano contro la vaccinazione (liberi di farlo). Tra le altre cose, un punto che sempre contestano è l'efficacia del vaccino. Secondo loro i decessi ed i ricoveri in terapia intensiva anche di persone vaccinate mostrano che il vaccino è inefficace nell'evitare sintomi gravi e quindi che la presunta efficacia nominale dei vaccini (dedotta dalla sperimentazione clinica), compresa tra il 90% ed il 95% per tutti quelli distribuiti,sia falsa.
Senza entrare nel merito della discussione dal punto di vista medico, che lasciamo a immunologi, virologi, epidemiologi ecc., mostriamo come i dati pubblicamente disponibili e citati quotidianamente dalla stampa smentiscano quest'ultima tesi sull'inefficacia della vaccinazione. Si tratta di semplici considerazioni che chiunque può fare, purché abbia letto almeno le prime dieci pagine di un qualunque libro di testo sulla teoria della probabilità. È un semplice esercizio.
Nel seguito, estraiamo i dati necessari dai dati pubblici disponibili a tutti e quindi deduciamo le implicazioni sullla differenza del rischio di essere ricoverati tra vaccinati e non vaccinati nonché stimiamo l'efficacia della vaccinazione.
I dati
Dai dati dell'Istituto Superiore di Sanità (ISS, Epidemia Covid-19, aggiornamento al 12 gennaio 2022, tabella 5 a pagina 26) si legge che i ricoveri in terapia intensiva nel periodo dal 26/11/2021 al 26/12/2021 sono stati, nella popolazione con almeno 12 anni,
| Non vaccinati: | 1368 |
| Vaccinati ciclo incompleto: | 44 |
| Vaccinati ciclo completo da oltre 120 giorni: | 534 |
| Vaccinati ciclo completo da meno di 120 giorni: | 70 |
| Vaccinati con dose di richiamo: | 59 |
Per cui, anche non distinguendo tra una, due e tre dosi avremmo in tutto 1368 non vaccinati e 707 almeno parzialmente vaccinati (totale 2075).
È necessario conoscere la numerosità della popolazione con oltre 12 anni e quanti tra loro siano stati vaccinati. Al 16 gennaio 2022 i dati sulle vaccinazioni della popolazione dai dodici anni in su erano i seguenti (fonte: Governo, ministero della sanità, purtroppo la pagina non riporta i dati vecchi che nei periodici aggiornamenti sono quindi persi ed andrebbero cercati in altri documenti):
| Vaccinati con almeno una dose: | 48559112 | (89,91%) |
| Vaccinati con ciclo completo: | 46867461 | (86,78%) |
| Totale guariti: | 536854 | (0,99%) |
Abbiamo quindi una popolazione ultradodicenne che è composta da circa 54,001 milioni di persone (di cui 4,912 milioni non vaccinate né guariti). Dal momento che nel periodo considerato (dal 26 novembre al 26 dicembre) coloro che hanno ricevuto almeno una dose saranno stati un po' meno, ammettiamo che da allora abbiano iniziato il ciclo vaccinale un milione di persone, ovvero che, rispetto ai dati precedenti, gli almeno parzialmente vaccinati fossero un milione di meno (ovvero ammettiamo che ci siano state circa 30.000 prime dosi ogni giorno; per avere un dato preciso bisognerebbe andare a vedere i dati giornalieri delle vaccinazioni e sommare, tuttavia per una prima approssimazione cambia poco e, in ogni caso, ciò porta ad un errore per difetto sull'efficacia del vaccino) ed i non vaccinati un milione di piú. Togliendo dal conteggio i guariti, idealmente immuni e che quindi non dovrebbero rischiare di finire in terapia intensiva (comunque non è riportato il dato nella tabella), nella popolazione ultradodicenne tra vaccinati e non vaccinati possiamo stimare:
| Vaccinati con almeno una dose: | 47,859 milioni |
| Non vaccinati: | 5,912 milioni |
| Totale popolazione di riferimento: | 53,471 milioni |
Analisi: riduzione del rischio di ricovero
Se tutti sono esposti allo stesso modo al virus (in realtà i vaccinati sono più esposti, perché hanno maggiore libertà di movimento), se il vaccino non avesse efficacia, tutti avrebbero la stessa probabilità di sviluppare sintomi gravi indipendentemente dall'essersi vaccinati sicché la frazione dei ricoverati in terapia intensiva che hanno ricevuto il vaccino dovrebbe essere la stessa della frazione di popolazione che è vaccinata, invece è notevolmente inferiore. Quindi il vaccino ha una qualche efficacia, anche se, ovviamente, non è pienamente efficace su tutti, perché in tal caso tutti i ricoverati dovrebbero essere non vaccinati. Possiamo quindi concludere che non per tutti il vaccino è stato efficace. Stimiamo però di quanto si riduce il rischio di avere sintomi gravi (tali da richiedere un ricovero) vaccinandosi. Per semplicità, consideriamo vaccinati tutti coloro che hanno ricevuto almeno una dose di vaccino (anche se l'efficacia in chi ha ricevuto una sola dose è ovviamente ridotta e quindi questa semplificazione porta a sottostimare l'efficacia del vaccino).
Indichiamo con \(\Omega\) l'intera popolazione, con \(V\) l'insieme dei vaccinati, \(N\) l'insieme dei non vaccinati (\(\Omega=V\cup N\), \(V\cap N=\varnothing\)), con \(R\) l'insieme dei ricoverati. A partire dai dati citati prima, dalle frequenze possiamo stimare le probabilità, quindi possiamo valutare, dai dati sulle vaccinazioni, che \begin{align*} \mathbb{P}(V) \simeq \frac{47,\!589}{53,\!471} \simeq 0,\!89,\;\; \mathbb{P}(N) \simeq \frac{5,\!912}{53,\!471} \simeq 0,\!11 \end{align*} e, dai dati sui ricoveri in terapia intensiva, che \begin{align*} \frac{\mathbb{P}(R\cap V)}{\mathbb{P}(R)} \simeq \frac{707}{2075}\simeq 0,\!34,\;\; \frac{\mathbb{P}(R\cap N)}{\mathbb{P}(R)} \simeq \frac{1368}{2075}\simeq 0,\!66.\;\; \end{align*} Valutiamo se la probabilità che una persona abbia bisogno di essere ricoverata sapendo che è vaccinata sia sensibilmente diversa dalla probabilità che sia ricoverata sapendo che non è vaccinata. Poiché \begin{align*} \mathbb{P}(R|V)=\frac{\mathbb{P}(R\cap V)}{\mathbb{P}(V)}, \qquad \mathbb{P}(R|N)=\frac{\mathbb{P}(R\cap N)}{\mathbb{P}(N)}, \end{align*} facendo il rapporto si ha \begin{align*} \frac{\mathbb{P}(R|V)}{\mathbb{P}(R|N)} = \frac{\mathbb{P}(R\cap V)}{\mathbb{P}(R\cap N)} \frac{\mathbb{P}(N)}{\mathbb{P}(V)} \end{align*} ovvero, dividendo numeratore e denominatore per \(\mathbb{P}(R)\), che \begin{align} \frac{\mathbb{P}(R|V)}{\mathbb{P}(R|N)} = \frac{\mathbb{P}(R\cap V)/\mathbb{P}(R)}{\mathbb{P}(R\cap N)/\mathbb{P}(R)} \frac{\mathbb{P}(N)}{\mathbb{P}(V)} \simeq \frac{0,\!34}{0,\!66}\cdot\frac{0,\!11}{0,\!89} \simeq 0,\!0637 \label{vaccino.rapp} \end{align} o, prendendo l'inverso, \(\mathbb{P}(R|N)/\mathbb{P}(R|V)\simeq 15,\!7\). Quindi la probabilità di avere sintomi gravi che richiedono ricovero è, tra i vaccinati, circa 16 volte inferiore rispetto ai non vaccinati. In realtà, avendo considerato come vaccinati anche coloro che non hanno ancora completato il ciclo vaccinale, e quindi non necessariamente sono protetti dal vaccino, la riduzione del rischio di ricovero per i vaccinati sarà maggiore di quanto stimato.
Analisi: efficacia della vaccinazione
Mostriamo che i dati delle sperimentazioni cliniche sull'efficacia dei vaccini, svolti prima dell'approvazione da parte dell'EMA, sono coerenti con questi dati, che fornivano un'efficacia (intesa come capacità del vaccino di provocare una risposta immunitaria) tra il 90% ed il 95% per i vari vaccini approvati dall'EMA. Dividiamo quindi l'insieme \(V\) dei vaccinati in due sottoinsiemi, \(A\) e \(B\), dove \(A\) è il sottoinsieme di coloro per cui il vaccino ha avuto efficacia (hanno sviluppato una quantità di anticorpi tale da impedire lo sviluppo di sintomi gravi) e \(B\) coloro per i quali il vaccino non ha avuto efficacia. Ovviamente \(V=A\cup B\), \(A\cap B=\varnothing\). Tutti coloro nell'insieme \(A\) sono completamente immuni da conseguenze gravi, mentre coloro nell'insieme \(B\) è come se non fossero stati vaccinati. Vogliamo quindi valutare la probabilità di avere sviluppato, a seguito della vaccinazione, anticorpi tali da impedire conseguenze gravi, ovvero vogliamo valutare \(\mathbb{P}(A|V)\).
La probabilità che una persona sia ricoverata sapendo che è vaccinata può quindi essere scritta come \begin{align*} \mathbb{P}(R|V) = \frac{\mathbb{P}(R\cap V)}{\mathbb{P}(V)} = \frac{\mathbb{P}(R\cap A)+\mathbb{P}(R\cap B)}{\mathbb{P}(V)} \end{align*} Ma i membri di \(A\) non possono dover essere ricoverati a causa dell'immunizzazione indotta dal vaccino, sicché \(\mathbb{P}(R|A)=0\), mentre per i membri di \(B\) è come non essere stati vaccinati, sicché hanno la stessa probabilità di essere ricoverati di chi non si è vaccinato, ovvero \(\mathbb{P}(R|B)=\mathbb{P}(R|N)\), sicché di conseguenza \begin{align*} \mathbb{P}(R\cap A) &= \mathbb{P}(A) \mathbb{P}(R|A) = 0\\ \mathbb{P}(R\cap B) &= \mathbb{P}(B) \mathbb{P}(R|B) = \mathbb{P}(B) \mathbb{P}(R|N) \end{align*} da cui \begin{align*} \mathbb{P}(R|V) = \frac{\mathbb{P}(R|N)\mathbb{P}(B)}{\mathbb{P}(V)} \end{align*} che permette di dedurre \begin{align*} \mathbb{P}(B) = \frac{\mathbb{P}(R|V)}{\mathbb{P}(R|N)}\mathbb{P}(V). \end{align*} Essendo \(A\cup B=V\) e \(A\cap B=\varnothing\), la probabilità di \(A\) è data da \begin{align*} \mathbb{P}(A)=\mathbb{P}(V)-\mathbb{P}(B) = \mathbb{P}(V) \left(1-\frac{\mathbb{P}(R|V)}{\mathbb{P}(R|N)}\right) \end{align*} e di conseguenza, essendo \(A\subset V\), usando il risultato precedente sulla probabilità dei ricoveri, \begin{align*} \mathbb{P}(A|V) = \frac{\mathbb{P}(A\cap V)}{\mathbb{P}(V)} = \frac{\mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(V)} = 1-\frac{\mathbb{P}(R|V)}{\mathbb{P}(R|N)} \simeq0,\!936. \end{align*} Quindi possiamo stimare che il vaccino è efficace nel prevenire sintomi da ricovero il quasi il 94% dei vaccinati (un dato pienamente in linea con quando stimato sulla base della sperimentazione clinica effettuata per ottenere l'autorizzazione alla vendita del vaccino). Un'analisi più completa porta a valutare l'efficacia con una dose, due dosi, due dosi e richiamo o la differenza di efficacia per fascia d'età, sesso ecc. I dati necessari sono presenti nei rapporti settimali pubblicati dall'Istituto Superiore di Sanità. Si tratta solo di raccogliere con un po' di pazienza i dati. Anche dati approssimati tuttavia forniscono lo stesso quadro qualitativo, senza grosse differenze nei risultati. In realtà non ce n'é nemmeno bisogno, perché questi risultati sono già presenti nelle relazioni periodiche dell'ISS. Si tratta solo di un rapido controllo per essere consci di come sono valutati e di cosa rappresentano. In poche parole, per essere sicuri che le stime sull'efficacia dei vaccini non siano numeri a caso o falsificati come la propaganda "no-vax" sostiene, salvo poi usare quegli stessi dati (quando, ovviamente, non ne inventano di sana pianta attribuendoli a pubblicazioni inesistenti) per provare a sostenere tesi opposte. In breve, niente trucco, niente imbroglio, il vaccino è efficace e serve.
\(\mathcal{M}.\mathcal{I}.\)