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La rata del mutuo

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Quasi a tutti, prima o poi, sarà capitato di dover accedere ad un mutuo ipotecario per l'acquisto di un immobile, e, chiedendo informazioni alle banche, si ci trova di fronte al problema di valutare l'importo della rata del mutuo fissato l'ammontare del prestito ed il tasso d'interesse. La cosa (così come viene presentata dalle banche) sembra un problema arcano che solo dotti esperti del settore possono risolvere (infatti non vi sanno rispondere immediatamente su due piedi ma dovete chiedere un preventivo che vi verrà consegnato un paio di giorni dopo). In realtà è un problema molto semplice che chiunque può risolvere in pochi secondi.

Un mutuo funziona banalmente in questo modo: bisogna rimborsare un debito \(D\) in \(n\) rate constanti di importo \(R\). Fissato il tasso d'interesse ed il numero di rate, il problema consiste nel determinare \(R\) (in assenza d'interessi la soluzione sarebbe banale, \(R=D/n\)). Indichiamo con \(d_k\) il debito residuo dopo il pagamento della \(k\)-esima rata e con \(i\) il tasso d'interesse relativo al periodo di pagamento delle rate. Il debito residuo \(d_{k+1}\)dopo il pagamento della \(k+1\)-esima rata sarà ovviamente pari al debito residuo \(d_k\) più gl'interessi \(id_k\) sul capitale che era da rimborsare e meno la rata \(R\), ovvero $$ d_{k+1} = d_k(1+i)-R $$ mentre, ovviamente, \(d_0=D\). Possiamo facilmente ricavare esplicitamente il termine generico \(d_k\) di questa successione definita per ricorrenza: infatti, procedendo a ritroso, \begin{equation} \begin{split} d_k &= (1+i) d_{k-1} - R \\ &= (1+i)^2 d_{k-2} - (1+i) R - R\\ &= (1+i)^3 d_{k-3} - (1+i)^2 R - (1+i) R - R\\ &= \dots\\ &= (1+i)^k d_{0} - R \sum_{s=0}^{k-1} (1+i)^s, \end{split} \end{equation} da cui, essendo \(d_0=D\) ed osservando che il secondo addendo non è altro che una successione geometrica di ragione \(1+i\), abbiamo infine $$ d_k = (1+i)^k D - R\frac{(1+i)^k-1}{i} $$ (come si può dimostrare per induzione). La rata \(R\) si ottiene imponendo che \(d_n=0\): $$ R = D \frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1}. $$ Il rapporto tra la rata del mutuo è l'ammontare del prestito dipende soltanto dal tasso d'interesse \(i\) e dal numero di rate \(n\). Il tasso d'interesse che \(i\) è il tasso d'interesse effettivo per il periodo tra una rata e l'altra, non il tasso d'interesse annuo dichiarato: se \(I_a\) è il tasso d'interesse annuo e si pagano \(n_a\) rate per anno, allora \(i=I_a/n_a\) (per esempio, con un tasso d'interesse annuo del 2,4% e rate mensili, quindi 12 per anno, si ha \(i=2,4\cdot10^{-2}/12 = 0,2\cdot10^{-2}\)). Poiché tutti i telefonini hanno una calcolatrice incorporata, non è difficile calcolare al volo la rata del mutuo senza dover aspettare l'arcano preventivo. Se poi questo preventivo si discostasse significativamente dalla rata così calcolata (ovvero più dell'eventuale scostamento di un centesimo dovuto all'arrotondamento) allora vuol dire che vi stanno facendo pagare anche qualcos'altro che è nascosto nelle pieghe del contratto (in parole povere, dato che "a pensar male si fa peccato ma non si sbaglia mai", vi stanno fregando).

Per i pigri, si può tabulare il rapporto \(R/D\) in base al tasso d'interesse:

1000 \(R/D\)	5 anni	10 anni	15 anni	20 anni	25 anni	30 anni
2,0%	17,528	9,201	6,435	5,059	4,239	3,692
2,2%	17,615	9,291	6,528	5,154	4,337	3,797
2,5%	17,747	9,427	6,668	5,299	4,482	3,951
3,0%	17,969	9,656	6,906	5,546	4,742	4,216
4,0%	18,417	10,125	7,397	6,060	5,278	4,774

La tabella indica il rapporto \(R/D\) (in verità 1000 volte tale rapporto), arrontondato a quattro cifre significative, in funzione del periodo di rimborso e del tasso d'interesse annuo ammettendo rate mensili. Ad esempio, rimborsando in 20 anni un mutuo di 200.000 € con un tasso del 2,2% si pagano 1030,81 € al mese. Ovviamente, la formuletta ricavata si può usare al contrario: fissata la rata \(R\) che si è in grado di pagare, si determina qual è il capitale massimo che si può avere in prestito.

Nella tabella seguente un semplice "script" java esegue il calcolo utilizzando la formuletta trovata qui sopra (N.B.: se necessario, si utilizzi il punto come separatore decimale e non la virgola, non si usi alcun separatore per le migliaia)